HÀM HẰNG LÀ GÌ

Tổng quát hơn, ta xét

*
là hàm suy rộng lớn trên
*
và đạo hàm suy rộng lớn của chính nó là hàm suy rộng
*
thì
*
là hàm suy rộng lớn hằng.

Bạn đang xem: Hàm hằng là gì

Một bí quyết giống như mang đến hàm với hàm suy rộng lớn khẳng định trên miền (mở+liên thông) vào không gian

*
Các các bạn demo cụ thể bài toán tựa như này coi sao?

Quay quay trở về ngôi trường đúng theo 1-chiều, hàm lồi bên trên toàn con đường trực tiếp với bị ngăn bên trên là hàm hằng.

Nhắc lại tư tưởng hàm lồi:

*
được Hotline là hàm lồi nếu

với tất cả cặp điểm

*
ta những có

*

Nếu hàm khả vi mang đến cấp cho 2 ta có thể tuyên bố nhỏng sau:

Cho

*
khả vi mang đến cung cấp 2 với đạo hàm cấp 2 của nó

*

lúc kia ví như

*
bị ngăn trên, tức thị gồm số
*
để

*

thì

*
là hàm hằng.

Tuy nhiên có rất nhiều hàm lồi không tồn tại đạo hàm cho cấp 2, chẳng hạn

*
xuất xắc những hàm gồm đồ vật thị đường tính từng khúc. Tuy nhiên L. Schwartz chứng minh được rằng

*
là hàm lồi khi còn chỉ Khi nó tất cả đạo hàm suy rộng cấp hai
*
là độ đo Radon, nghĩa là hàm suy rộng dương

*

hay

*

Ta hoàn toàn có thể thấy vấn đề đó qua ví dụ

*
*
, giỏi
*
gồm đồ thị tuyến đường tính từng khúc có

*

cùng với

*
là hoành độ điểm gãy,
*
là độ lệch giữa thông số góc của đoạn buộc phải và đoạn trái được nối với nhau tại điểm
*
.

Một biện pháp giống như các bạn thử tuyên bố mang lại hàm lõm. Hàm vừa lồi vừa lõm là hàm afin, nghĩa là

*

lúc kia ví như

*
bị ngăn hoặc trên, hoặc dưới thì nó là hàm hằng.

Chụ ý rằng, theo Bổ đề Weyl, đạo hàm cấp ba

*
ở bên trên có thể phát âm theo nghĩa suy rộng, nghĩa là ta chỉ việc đưa sử
*

*

Khi kia ví như

*
thì nó là hàm hằng.

Phần tiếp theo của nội dung bài viết quan tâm đến: với những ĐK gì bỏ lên trên các đạo hàm riêng biệt cấp 1, cấp cho 2 của hàm khẳng định trên toàn

*
thì hàm là hàm hằng? Trả lời câu hỏi này ta thu được các Định lý dạng hình Liouville.

Ta bắt đầu cùng với những điều kiện đặt lên trên đạo hàm riêng rẽ cấp 1 với

*
Chụ ý ta rất có thể coi
*
Theo phong cách
*
Ta quyên tâm mang lại các hàm
*
. Ta gồm những đạo hàm riêng

*
,

*
,

với

*

Đến trên đây ta gặp định nghĩa tựa chính quy (quasiregular) sau:

Hàm

*
được call là tựa chủ yếu quy nếu

*

cùng với hằng số

*

lúc kia ta tất cả kết quả sau:

Nếu hàm tựa chủ yếu quy

*
thỏa mãn:

*
0," class="latex" />

thì

*
là hàm hằng.

Đặc biệt, Lúc hàm tựa bao gồm quy bị ngăn thì nó là hàm hằng.

Để đưa quý phái trường thích hợp

*
ta cần quan liêu ngay cạnh ĐK tựa bao gồm quy. Để ý:

-) Jacobien

*
,

-) chuẩn chỉnh của đạo ánh

*

-) và

*

bắt buộc

*
là tựa chính quy lúc còn chỉ khi

*

hay

*

hoặc

*

với hằng số

*
.

Xem thêm: Chữa Lỗi Fake Serial Idm Báo Fake Serial Number Với 4 Cách Làm Đơn Giản

Giờ ta hoàn toàn có thể có mang hàm tựa thiết yếu quy trong

*
nhỏng sau:

Hàm

*
thỏa mãn

*

cùng với hằng số

*

được gọi là hàm tựa chủ yếu quy.

Nhắc lại

-) ma trận đạo ánh Jacobi

*

-) chuẩn chỉnh của ma trận đạo ánh Jacobi

*

-) định thức Jacobien của ma trận đạo ánh Jacobi

*

khi đó ta cũng có

*

cùng với hằng số

*

Đặt

*
thứu tự là số bé dại duy nhất trong số
*
vừa lòng (1), (2).

Trong trường đúng theo

*
ta gồm
*

Ta tất cả tác dụng sau đến hàm tựa bao gồm quy vào

*
nhỏng sau:

Cho

*
là hàm tựa thiết yếu quy thỏa mãn

*

với

*
lúc kia
*
là hàm hằng.

Đặc biệt, nếu như hàm tựa thiết yếu quy bị chặn thì nó là hàm hằng.

Trong ngôi trường hòa hợp

*
, hàm tựa chủ yếu quy cùng với hằng số
*
tuyệt
*
, theo Bổ đề Weyl, là hàm chỉnh hình. khi đó từng nguyên tố của chính nó hồ hết là hàm điều hòa. Ta gặp lại Định lý Liouville đến hàm chỉnh hình bên trên
*
cũng như hàm điều hòa cùng bề mặt phẳng.

Chụ ý rằng hàm cân bằng là nghiệm của phương trình Laplace, ngôi trường phù hợp quan trọng đặc biệt của pmùi hương trình elliptic. Phần tiếp ta quan tâm mang đến nghiệm

*
của pmùi hương trình elliptic, theo nghĩa suy rộng,

*

trong những số đó

*
là những hàm đo được thỏa mãn

*

*

trong các số đó

*
là những hằng số dương.

Khi đó trường hợp

*
thì nó là hàm hằng.

Ta quan liêu gần kề lại bài bác viết:

– bắt đầu xét hàm

*
,

– mở rộng

*
,

– rồi

*
cùng
*
,

– trở lại

*

Tiếp đến ta quan tâm đến nghiệm theo nghĩa suy rộng

*
của hệ phương trình elliptic

*

với

*

và hệ số

*
thỏa mãn

*

Lúc đó, giả dụ

*
gồm độ tăng không thực sự nhiều thức, nghĩa là

*

thì

*
là đa thức bậc
*
nghĩa là từng thành phần của nó là nhiều thức bậc
*

Đặc biệt nếu như

*
thì nó là hằng số.

Nhắc lại:

*
được Call là nghiệm của hệ (3) nếu

*

Vừa rồi ta xét những hàm xác định trên toàn không gian

*
Trlàm việc lại đầu bài các hàm chỉ cần xác minh trên miền (mở+liên thông). Cũng phải chú ý việc xác định bên trên toàn không gian là siêu đề nghị qua ví dụ:

– hàm

*
là nghiệm bị ngăn, không giống hằng, của pmùi hương trình Laplace không tính hình tròn trụ đơn vị.

Phần cuối của nội dung bài viết ta quay trở lại xét hàm

*
là miền trong
*
H. Brezis là fan đầu tiên đưa ra những ĐK thú vui dạng tích phân nlỗi sau:

Hàm đo được

*
thỏa mãn

*

thì

*
là hàm hằng.

Tổng quát mắng rộng một ít, với

*
thỏa mãn

*

*
\delta}\rho_\epsilon(|x|)dx=0, \forall \delta> 0;" class="latex" />